ریاضیات و واقعیت



 ریاضیات و واقعیت

نویسنده: ماکس بورن
مترجم: هوشنگ گرمان

هندسه از فن مساحی که آموزشی است عملی و تجربی سرچشمه می گیرد. در دوران باستان کشف شد که قضیه های هندسی را از طریق قیاس می توان اثبات کرد، یعنی فقط کافی است که چند قضیه اصلی انگشت شمار موسوم به اصلهای متعارف تصدیق شوند، آنگاه دیگر قضیه های این دستگاه همگی به طریقی صرفاً منطقی استنتاج خواهند شد. تأثیر کشف مزبور بسیار عمیق بود، زیرا که هندسه برای همه دانشهای قیاسی سرمشق قرار گرفت و به صورت چیزی شبیه more geometrico (سنت هندسی)،‌ شعار متفکران متعصب شد. اینک باید دید، چیزهایی ه در حکم موضوعهای هندسه به شمار می روند، چیستند؟ فیلسوفان و ریاضیدانان این مسئله را همه جانبه مورد بحث قرار داده اند و برای آن پاسخهای متعدد ارائه کرده اند، به این قرار که استواری و خلل ناپذیری درستی قضیه های هندسی عموماً تأیید شد. تنها نکته مورد سؤال این بود که این قضیه های مطلقاً مطمئن چگونه به دست می آیند و به چه چیزهایی مربوط می شوند.
بدون تردید چنین است که، اگر کسی اصلهای متعارف هندسی را بپذیرد، اجباراً دیگر قضیه های هندسه را تصدیق خواهد کرد. چون برای هر فردی که در اساس منطقی بیندیشد، رشته این استدلالها جبری و قابل قبول است. در این جاست که مطلب به صورت سؤال درباره منشاء اصلهای متعارف خلاصه می شود. در این اصلها صحبت چند قضیه انگشت شمار در میان است، و این قضیه ها راجع به مفهومهایی اند از قبیل نقطه، خط راست، سطح مستوی و غیره که بایستی دقیقاً معتبر شناخته شوند. پس این مفهومها مانند غالب مشهودات علمی و اطلاعات روزمره نیستند و نمی توانند منشاء تجربی داشته باشند. صحت قضیه های تجربی همیشه تقریبی و کم و بیش احتمالی است. از این رو در جستجوی منبعی دیگر باید رفت، تا اعتماد مطلق به قضیه های مزبور تضمین گردد. کانت (۱۷۸۱) معتقد است که فضا و زمان قالبهای فکری قبلی اند که نسبت به هر اختیاری مقدم اند، و همین قالبهایند که چنین اختیاری را اصولاً ممکن می سازند. به این ترتیب، موضوعهای هندسه مفهمهای تصوری محض اند که از قبل شکل گرفته اند و پایه قضاوت ما را نسبت به موضوعهای حقیقی در ضمن مشاهدات تجربی تشکیل می دهند. سپس قضاوتی از قبیل لبه این خط کش راست است از قیاس مشاهده تجربی با شکل صرفاً تصوری یک خط راست حاصل می گردد، البته بدون آنکه تعمقی در فرایند این قیاس شده باشد. پس موضوع هندسه در واقع خط راستی است که از تصور محض عاید می گردد؛ بنابراین نه مفهومی است منطقی و نه شئیی است فیزیکی، بلکه از نوع سومی است که موجودیت آن فقط از طریق اتحاد تجربه و تصورراستی شناسانده می شود.
ما نمی خواهیم به خود جرأت دهیم و درباره این آموزشها و نظریات مشابه آن قضاوت کنیم. این سیر و نظرها مقدم بر همه به حادثه فضا مربوطند که از حدود بحث ما خارج است. در این جا سخن بر سرفضا و زمان دانش فیزیک است که دانسته و پیوسته هرچه آشکارتر از مشهود فکری، به عنوان منبع شناخت، روی برتافته و ملاکهای دیگری طلب کرده است.
پس در این جا می باید تصریح کنیم که فیزیکدان در قضاوت خود درباره لبه این خط کش راست است هیچگاه به راستی صرفاً تصوری متکی نمی شود. از نظر او فرق نمی کند که چیزی شبیه صورت اصیل خط راست تصوری وجود داشته باشد که با آن بتوان لبه خط کش را مقایسه کرد، یا نداشته باشد. او درست به شیوه معمول خود که ادعای راجع به هر موضوعی را از طریق تجربه می آزماید، برای این مور هم ترجیح می دهد که آزمایشهایی ترتیب دهد. مثلاً به این نحو که پرتو نور را از یک خط سرکش به سر دیگر می فرستد و می نگرد که آیا خط پرتو با کلیه نقاط لبه خط کش تماس پیدا می کند یا نه (ش.۱). یا اینکه مثلاً خط کش را گرد محور طولی آن می چرخاند و در ضمن نوک مدادی را با یکی از نقاط اختیاری لبه خط کش به حالت مماس قرار می دهد؛ حال اگر نوک مداد در حین چرخاندن خط کش همچنان با لبه مماس باشد، آن وقت لبه خط کش راست خواهد بود (ش. ۲).
 ریاضیات و واقعیت
ش.۱- آزمایش راستی لبه ی خط کش به وسیله ی پرتو نور
ش.۲- آزمایش راستی لبه ی خط کش به شیوه ی چرخش

چنانچه شیوه های آزمونی مذکور را با یک نقد منطقی تحلیل کنیم، ملاحظه خواهیم کرد که این شیوه ها نیز هیچ نکته ای را در مورد راستی مطلق روشن نمی کنند. در شیوه نخستین محققاً فرض بر راست بودن پرتو نور است. اما این راستی را چگونه می توان اثبات کرد؟ در شیون دوم فرض بر این است که نقاط لبه در ضمن چرخش خط کش با نوک مداد به حالت صلب با یکدیگر تماس دارند، و مضافاً خط کش خود یک جسم صلب است. اینک فرض کنیم، آزمودن راستی خط کشی مطرح باشد که مقطع آن دایره ای است و خود به حالت افقی قرار می گیرد و لذا به علت وزنش کمی به سمت پایین خمیدگی پیدا میکند، به طوری که این خمیدگی در ضمن چرخش نیز همچنان وجود دارد. با این حال راستی خط کش تصدیق می شود، در صورتی که در آن خمیدگی هست. البته در اینکه خطاهایی هستند که در جریان هر سنجش فیزیکی پیش می آیند و به دست یک آزمایشگر ورزیده پیشگیری می شوند، بحثی نیست. آنجه که به ما مربوط می شود، بیان این مطلب است که راست واقعی یا هر صفت هندسی از این قبیل را فقط نسبت به صفات معین هندسی لوازم به کار برده شده (مانند راستی پرتو نور و سختی افزارها) می توان آزمود، و نه از طریق تجربی. در صورتی که عملیات واقعاً اجرا شده از کلیه اجزای فکر و حافظه و معرفت آزاد و عریان گردند، و فقط این تحقیق باقی می ماند که: اگر ۲ نقطه لبه خط کش روی خط پرتو بیفتند، این یا هر نقطه دیگر لبه نیز روی خط پرتو مزبور خواهد افتاد؛ چنانچه ۲ نقطه خط کش بر دو نقطه جسمی منطبق گردند، عین همین وضع برای این یا آن نقطه سوم نیز صادق خواهد بود. پس در واقع انطباقهای فضایی یا مناسبتر انطباقهای فضا – زمانی است که تحقیق می شوند،یعنی تلاقی دو نقطه قابل تمیز مادی در زمان واحد و در محل واحد، بقیه همه تأملات فکری است، حتی این نظر که راست بودن خط کشی از طریق آزماش می توان تحقیق کرد.
یک بررسی انتقادی علوم دقیقه نشان می دهد که کلیه محقق کردنها در واقع از چنین انطباقهایی جاری می شوند. هر اندازه گیریی در نهایت امر شناسایی حالتی است که عقربه یا علامتی در این یا در آن لحظه زمانی بر این یا بر آن خط درجه بندی منطبق می گردد. اعم از اینکه اندازه گیری مربوط باشد به طول، زمان، به نیرو، به جرم، به جریان الکتریکی، به قابلیت ترکیب شیمیایی و یا به هر کمیت دیگر: واقعاً فقط مسئله تشخیص انطباقهای فضا زمانی مطرح است. و این انطباقها را مینکوفسکی نقطه های جهانی می نامد که بر اثر تلاقی خطهای جهانی در گوناگونی فضا – زمان نشانه گذاری می شوند. و فیزیک علم ارتباط بین چنین نقطه های جهانی نشانه گذاری شده است.
ورزیدن منطقی این ارتباطها خود یک نظریه ریاضی است. این نظریه هر قدر هم که پیچیده و دشوار بوده باشد، در نهایت هدفش همیشه این است که ارتباطهای واقعاً ملحوظ را به عنوان حاصل ضرورت فکری چند مفهوم اساسی و تعدادی قضیه اصلی نمایش دهد. بعضی احکام مربوط به انطباقها در قالب قضیه های هندسی ظاهر می شوند. در این میان هندسه به عنوان یک آموزش قابل استعمال در جهان واقعی هیچ مقام خاصی را در برابر رشته های دیگر دانشهای فیزیکی احراز نمی کند. محتوای مفاهیم هندسی به طرزی مشابه به رفتار واقعی اشیاء طبیعی مشروط است، درست مانند مفهومهای شاخه های دیگر فیزیکی.
اینکه هندسه اقلیدسی اعتبار خود را تاکنون کاملاً حفظ کرده است، از طرفی به علت وجود پرتو نور است که رفتارش با دقت زیاد با طرح خط راست هندسه اقلیدسی تطبیق می کند، واز طرف دیگر به سبب وجود جسمهای تقریباٌ صلب که با شرایط اصلهای متعارف چنین هندسه ای وفق می دهند. ولی برای اعتبار دقیق و مطلق هندسه از دیدگاه فیزیکی نمی توان یک معنای قابل فهم قائل شد.
به این ترتیب، اگر از یک نقطه نظر معین بنگریم، موضوعهای واقعاً به کار برده شده در جهان چیزهای هندسه عملی را خود همین چیزها تشکیل می دهند. خط راست مبتنی است بر تعریف پرتو نور، یا مسیر لخت، یا مجموع نقطه های متعلق به یک جسم صلب که در ضمن گردش حول دو نقطه ثابت حرکت نکنند، و بر اساس تعریف یا یک چیز فیزکیی از این نوع. اینکه آیا خط راست به این نحو تعریف شده ای دارای همان صفاتی بوده باشد که هندسه اقلیدسی مدعی است، فقط بر اساس تجربه قابل تشخیص خواهد بود. از جمله این صفات هندسی اقلیدسی همان حکم قضیه مجموع زاویه های مثلث است که به توسط گوس از طریق تجربی امتحان شد. و ما حقانیت این آزمایش را باید تصدیق کنیم. دیگر صفت ممیزه هندسه دو بعدی به وسیله خود به خود بسته شدن شش ضلعی رشته ای (ص. ۳۴۹) تشریح شد. فقط تجربه می تواند نشان دهد که نوعی تحقق بخشیدن به خط راست، به یکای طول و غیره به وسیله چیزهای فیزیکی، آیا چنین صفتی را همراه دارد یا نه. هندسه اقلیدسی در مورد اولی، آزمایش گوس، نسبت به این تعریفها قابل استعمال است، ولی در مورد دومی نه.
اینک اینشتین مدعی است: کلیه تعریفهای متداول مربوط به مفهومهای پایه ای پیوستار فضا – زمان به وسیله خطکشها، ساعتها، پرتوهای نور، مسیرهای لخت البته در حوزه های کوچک محدود برای قوانین هندسه اقلیدسی و به همین نحو برای جهان مینکوفسکی صدق می کنند، ولی د رحوزه های وسیع نه. علت اینکه تاکنون به این نکته نرسیده اند، فقط اندک بودن اختلاف بین دو حالت است. اینک برای حل مسئله به یکی از دو طریق زیر می توان متوسل شد: یا صرف نظر شود از این که خط راست را به وسیله پرتو نور، طول را به وسیله جسم صلب و غیره تعریف کنند و به منظور حفظ استحکام و تمامیت دستگاه هندسه اقلیدسی، مفهومهای پایه ای این هندسه را از راههای دیگری تحقق بخشند؛ یا اینکه هندسه اقلیدسی به کلی کنار گذاشته شود و یک آموزش کلی تر برای فضا ارائه گردد.
اینکه طریق اول جدی به نظر نمی رسد، برای کسی که با ساختمان علم بیگانه نباشد کاملاً روشن است، ولی اثبات هم نمی توان کرد که انتخاب چنین راهی غیرممکن بوده باشد. در این جا منطق نیست که حکم کند، بلکه ذوق و بینش علمی است که تصمیم می گیرد. هیچ راه منطقی از حالتهای واقعی به حالتهای نظری وجود ندارد: کارخلاق دراین مورد، مانند همه موارد، از منبع گمان و تصور و ذوق تراوش می کند، و ملاک درستی، پیشبینی درست درباره فرایندهایی است که هنوز پژوهش نشده اند یا نخست در آینده باید پژوهش بشوند. خواننده اگر لحظه ای نزد خود فرض کند: پرتو نور در فضای خالی عالم راستترین خطی نیست که در نظر گرفته می شود، و پیامد این فرض را به تصور آورد، آنگاه پی خواهد برد که چرا اینشتین راه دیگری را انتخاب کرده است.
از آنجا که هندسه اقلیدسی ناتوان است، او می توانست یک راه معین غیراقلیدسی را برگزیند. هستند دستگاه های تصوری تکمیل شده از این قبیل که به دست لوبا چفسکی (۱) (۱۸۲۹)، بولیایی (۲) (۱۸۳۲)، ریمان (۱۸۵۴) هلمهولتز (۱۸۶۶) و دیگران بنا شده اند، بدین منظور که امتحان شود که، آیا برخی اصلهای متعارف معین اقلیدسی از ضرورت فکری مابقی نتیجه می شوند. اگر چنین می بود، و جای این اصلهای متعارف را به اصلهای متعارف جدید می دادند، جبراً با تضادهای منطقی مواجه می شدند. چنانچه یک چنین هندسه غیر اقلیدسی خاص را به منظور توصیف جهان فیزیکی اختیار می کردند، معنایش دفع فاسد به افسد می بود. اما اینشتین از راهی دیگر رفت، او برگشت به پدیده اصلی فیزیکی، به انطباق فضا – زمانی، به رویداد، به نقطه جهانی.
اندازه گیری پیوستار فضا – زمانی
مجموع نقطه های جهانی نشانه گذاری شده آن چیزی است که واقعاً قابل شناسایی است. پیوستار فضا زمانی چهاربعدی خود در اصل فاقد ساختار است و نخست ارتباطهای واقعی نقطه های جهانی در آن که به تجرید آشکار می شوند، اندازه گیریها هندسه را در آن ممکن می سازند. پس در جهان واقعی با همان کیفیتهایی برمی خوریم که هم اکنون در ضمن بررسی هندسه سطح ملاحظه کرده ایم. از این رو شیوه عملیات ریاضی در این هر دو یکسان است.
ابتدا مختصات گوسی در جهان چهار بعدی وارد می شود. شبکه ای می سازیم مرکب از نقطه های جهانی نشانه گذاری شده، یعنی فضایی را پر از چنان ماده ای به نظر می آوریم که آزادانه متحرک باشد، به طوری که بتواند خود را بچرخاند و تغییر شکل دهد، اما به هم پیوستگی خود را هماره حفظ کند – مثلا ماده ای که آن را اینشتین به مولوسک (۳) تشبیه می کند. سپس سه شار خطی متقاطع را از درون این ماده می گذرانیم و این شارها را با حرفهای z ،y ،x متمایز می کنیم. اینک چنین تصور می آوریم که دستگاه ساعتی در هر گوشه ای از روزنه های شبکه قرار گرفته باشد، دستگاه ساعتهایی با طرز کار کاملاً اختیاری، فقط به صورتی که اختلاف t های اعلان شده ساعتهای محلی همجوار کوچک باشد. پس چنین مجموعه ای کلاً یک دستگاه مرجع غیر صلب است، یعنی یک مولوسک مرجع است. مطابق همین دستگاه در جهان چهار بعدی، دستگاهی است گوسی چهار بعدی که تشکیل می شود از یک شبکه دارای ۴ شار سطحی شماره گذاری شده t ،z ،y ،x.
کلیه دستگاه های مرجع صلب متحرک طبعاً از نوع خاص همین دستگاه مرجع اند که تغییر شکل می دهد. ولی از دیدگاه عمومی ما بی معناست که صلابت را در حکم چیزی قبلا داده شده منظور کنیم. همچنین تفکیک فضا و زمان امری است کاملاً اختیاری؛ چون در مقامی که طرز کار ساعتها کاملاً اختیاری و فقط مدام متغیر فرض می شود، فضا به عنوان مجموع کلیه نقطه های جهانی همزمان دیگر یک حقیقت فیزیکی نیست.
با انتخاب دیگر مختصات گوسی، دیگر نقطه های جهانی اند که همزمان خواهند بود.
اما آنچه که در ضمن گذار از یک دستگاه مختصات گوسی به دیگر دستگاه تغییر می کند، همانا نقطه های تقاطعی خطهای جهانی اند، یعنی نقطه های جهانی نشانه گذاری شده که در نهایت همان انطباقهای فضا زمانی باشند. همه واقعیتهای قابل شناسایی فیزیک عبارتند از ارتباطهای کیفی وضع این نقطه های جهانی، پس در ضمن تعویض مختصات گوسی تغییر نمی کنند.
یک چنین تبدیل مختصات گوسی پیوستار فضا – زمانی به معنای عبور از یک دستگاه مرجع است به دستگاهی دیگر که به دلخواه تغییر یافته و متحرک باشد.
پس مطلب، فقط به منظور پذیرش جیزهایی واقعاً قابل شناسایی در قوانین طبیعت، منجر به این می شود که قوانین مزبور در برابر تبدیلات اختیاری مختصات گوسی t ،z ،y ،x به 't' ،z' ،y' ،x های دیگر بایستی ناوردا (تغییرناپذیر) باشند. این اصل موضوع محققاً اصل نسبیت عام را در برگرفته است، جون آن تبدیلاتی که انتقال از یک دستگاه مرجع سه بعدی را به یک دستگاه متحرک دلخواه محقق می کند، همچنین در جمع کلیه تبدیلات z ،y ،x قرار می گیرند؛ ولی صورت قضیه در آنجا که تغییرشکلهای دلخواه فضا و زمانرا شامل می گردد، از این هم گسترده تر است.
بدین وسیله پایه بررسی عمومی پیوستار فضا – زمان را به یک طرز نسبیتی کامل به دست آوردیم. اینک بحث بر سر تلفیق این روشهای ریاضی است با ملاحظات فیزیکی ای که قبلاً بیان کردیم و از آنها در اصل هم ارزی تلی ساختیم.
اکنون وضع ما در برابر جهان چهار بعدی به همان صورتی است که مساح در برابر جنگل ناهموار داشته است، یعنی پس از آنکه شبکه مختصات خود را پهن کرده، ولی اندازه گیری با متر مساحی را آغاز نکرده بود. ما نیز باید فکر یک متر مساحی چهاربعدی باشیم.
اینک اصل هم ارزی برای چنین منظوری مفید است. می دانیم که انتخاب دستگاه مرجع مناسب، همیشه امکان دسترسی به یک حوزه جهانی به اندازه کافی کوچک و فاقد میدان گرانش وجود دارد. بسیار هستند آن گونه دستگاههای مرجعی که نسبت به یکدیگر به خط راست و یکنواخت حرکت می کنند، و برای آنها قوانین نسبیت خاص صادق است. رفتار خط کشها و ساعتها چنان است که تبدیلات لورنتز بیان می کند؛ پرتوهای نور و حرکتهای لخت خطهای جهانی راستند. پس در این حوزه جهانی کوچک، مقدار
 ریاضیات و واقعیت
یک ناوردای صرفاً بدون معنای فیزیکی است. یعنی چنانچه اتصال دهند به مبداء O (که در درون حوزه کوچک فرض شده است) با نقطه جهانی  ریاضیات و واقعیت یک خط جهانی فضاگونه باشد، s طول  ریاضیات و واقعیت در دستگاه مرجعی خواهد بود که در آن این هر دو نقطه همزمانند. اما اگر خط جهانی  ریاضیات و واقعیت زمان گونه باشد،  ریاضیات و واقعیت خواهد بود، به طوری که τ اختلاف زمانی رویدادهای O و P در دستگاه مختصاتی است که در آن دو رویداد در محلی واقع می شوند. s یا دوری چهار بعدی به وسیله ی خطکشها و ساعتها مستقیماً قابل اندازه گیری است و پس از وارد کردن مختصات موهومی  ریاضیات و واقعیت ، از لحاظ صوری همتای فاصله های اقلیدسی در فضای چهار بعدی است:
 ریاضیات و واقعیت
واقعیت اعتبار نظریه نسبیت خاص در جزئیات مطابق است با قابلیت استعمال هندسه اقلیدسی در مساحتهای به اندازه کافی کوچک سطحهای خمیده. ولی نیازی نیست که هندسه اقلیدسی و نیز نظریه نسبیت خاص به همین منوال در کلیات صدق کنند. اصولاً نیازی نیست که خطهای جهانی راست وجود داشته باشند، بلکه فقط راستترین خطها که خطهای ژئودزی باشند لازمند.
دنباله بررسی جهان چهار بعدی به موازات نظریه سطحها پیش می رود. ابتدا باید روزنه های یک شبکه اختیاری مختصات گوسی با کمک فاصله s چهار بعدی اندازه گرفته شوند. ما طرز کار را بر یک هامون دو بعدی xt (ش. ۳) توضیح می دهیم. یک روزنه شبکه مختصات فرضاً به وسیله خطهای x = 8 ، x = 7 و t = 4 ، t = 3 محدود شده است. دو پرتو نور خروجی از گوشه های t = 3 ، x = 7 مطابقند با دو خط جهانی متقاطع با زاویه 〖۹۰〗^ ، به طوری که این دو خط را در یک حوزه کوچک می توانیم به عنوان خطهای راست تلقی و به همین صورت ترسیم کنیم. شکل نشان می دهد که منحنیهای هذلولی معیار F=1 از بین این دو خط پرتو عبور می کنند. این منحنیها مطابقند با دایره ای که در هندسه معمولی از نقطه های به فاصله متساوی با تشکیل می شوند.
** توضیح تصویر:
ش.۳- متریک در مجاورت نقطه جهانی x=7، t=3
به این ترتیب دستور  ریاضیات و واقعیت را نظریه سطح برای ناوردای s به صورت زیر بیان می کند:
 ریاضیات و واقعیت
به طوری که ξ و  ریاضیات و واقعیت عبارتند از مختصات گوسی هر نقطه p منظور شده از روزنه.
اینک با توجه به تساوی  ریاضیات و واقعیت ، خواهیم داشت
 ریاضیات و واقعیت
یا با حاصل ضربهای به اشکال دیگر (اینک  ریاضیات و واقعیت یعنی  ریاضیات و واقعیت یعنی  ریاضیات و واقعیت):
 ریاضیات و واقعیت
 ریاضیات و واقعیت ضریبهای متریک نامیده می شوند و کاملاً ازلحاظ فیزیکی قابل توجیه اند. مثلا برای  ریاضیات و واقعیت است، به این معنا که √(g_11 ) طول واقعی ضلع فضایی روزنه در دستگاه مرجعی است که ضلع مزبور نسبت به آن ساکن باشد.
فاصله ناوردای s بین دو نقطه که مختصات گوسی نسبی آنها  ریاضیات و واقعیت
باشند، به صورت
[۱]
 ریاضیات و واقعیت
 ریاضیات و واقعیت
نمایش داده می شود؛ این دستو را می توان صورت تعمیم یافته قضیه فیثاغورس برای جهان چهار بعدی نامید.

 ریاضیات و واقعیت

مقادیر  ریاضیات و واقعیت ضریبهای متریک اند. این ضریبها عموماً به مختصات گوسی t ،z ،y ،x مبدا O بستگی دارند و مضافاً با انتخاب مختصات گوسی دیگر، اندازه هایی دیگر به خود می گیرند، به طوری که این اندازه های جدید به توسط دستورهای تبدیلاتی معینی با اندازه های قبلی مربوطند.

پی‌نوشت‌ها:

۱٫ lobatschewski
۲٫ Bolyai
۳٫ Molluske، نرمتن شبیه به حلزون و از طایفه راب. – م.

منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (۱۳۷۱)، نظریه ی نسبیت اینشتین، ترجمه ی هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ چهارم.



لینک منبع

اشتراک گذاری مطلب

انتشار مطالب با ذکر منبع مجاز می باشد.